Kvantefeltteori. Seddel 5
[ Hjem ] Vekselvirkende felter. S-matrix. Feynman diagrammer. Kvantefeltteori. Seddel  « 5 »
Vekselvirkningslagrangian Lv
Lagrangianen for et system af fx. to vekselvirkende felter, ψ og φ, er L = Lψ + Lφ + Lv, hvor Lψ afhænger kun af ψ, Lφ afhænger kun af φ, og Lv afhænger af begge to. Den tilsvarende Hamiltonian bliver H = Hψ + Hφ + V, hvor V = -∫ d3x Lv. Fx. Lv = -gψψ(φ + φ+), hvor g er koblingskonstant.
Naturlige dimensioner af felter (h=c=1) : x ∼ t ∼ m-1, S ∼ 1, L ∼ m4, φ ∼ m, ψ ∼ m3/2
Naturlige dimensioner af koblingskonstanter: Lint = -gψψφ → g ∼ 1 :) - godt for renormaliering; Lint = -gψγμψ∂μφ → g∼ m-1 :( - ikke godt for renormalisering.
Vekselvirkningsbilledet og S-matrix  :  i∂/∂tΦ(t) = V(t)Φ(t) ;  Φ(t=+∞) = S Φ(t=-∞)
S = T e−i∫dtV(t)  ≡  ∑ (-i)n/n! ∫ T[V(t1)...V(tn)] dt1...dtn = Tei∫ d4x Lv
S = 1 - iM(2π)4δ(4)(pf-pi), hvor M er en amplitude. Pfi = |⟨f|S|i⟩|2 ;  dPfi = |⟨f|S|i⟩|2 d3pf/(2π)3.
Tværsnit dσfi :  dPfi = ΔVΔt vρ1ρ0 dσfi  ;  dσfi = 1/u |Mfi|2 δ(pf-pi)(2π)4Πi=1..nd3pf/(2π)3
Tidsprodukt T[AB..Z] og normal product N[AB..Z] af operatorer
T[A(t)B(t')] = A(t)B(t'), if t>t'; T(A(t)B(t')) = ±B(t')A(t), if t'>t (!fortegn skift for fermioner).
N[AB] = (alle generatorer til venstre)(alle anihilatore til højre)
Propagator : Δ(AB)=T(AB)-N(AB), fx.  Δ[φ(x)φ+(x´)] = i∫ d4k/(2π)4 (1/k²-m²+i0)e-ik(x-x´)
Propagator er en Greens funktion : (∂μ∂μ+m2)iΔ[φ(x)φ+(x')] = δ(4)(x-x'). Tilsvarende (i∂μγμ-m)iΔ[ψ(x)ψ(x')] = δ(4)(x-x') osv.
Wicks sætning : T[ABC..Z] = N[AB..Z]+Δ[AB]N[C..Z]+Δ[AB]Δ[CD]N[E..Z] +(alle andre combinationer)
Feynman regler (koordinat rum): Etvhert led i Wicks udviklingen af S(n)=(ig)n/n! ∫ T[Lv(x1)..Lv(xn)] d4x1..d4xn representeres som en diagram på den følgende måde:
  1. Koordinat xk, k=1..n, repræsenteres med et punkt.
  2. Propagator Δ(xk,xj) repræsenteres med et linjestykke mellem punkter xk og xj.
  3. Felt(xk) repræsenteres med en linje fra point xk.
  1. Betragt to vekselvirkende felter, spin-½ ψ og spin-0 φ, med vekselvirkningslagrangian Lint = -gψψ(φ + φ+). Find Euler-Lagrange ligningerne og Hamiltonian.
  2. Betragt vekselvirkningslagrangian Lint = -gAμjμ, hvor Aμ er den elektromagnetiske felt. Bevis, at Lint er invariant under gauge-transformationen Aμ → Aμ-∂μf(x), hvis jμ er en bevaret strøm, dvs. ∂μjμ=0.
  3. Beregn propagatoren for spin-0 felt i koordinat og impuls rum.
  4. For Lint = -gψψφ tegn alle topologisk forskellige diagrammer af fjerde orden og fortolk, hvilke processer de beskriver.
  5. (Ikke obligatorisk) Bevis Wicks sætning (matematisk induktion?)
  6. (Ikke obligatorisk) Beregn propagatorer for spin-½ og det elektromagnetiske felt (med stråling gauge).
Copyleft © 2000-2004 D.V.Fedorov (fedorov (at) phys (dot) au (dot) dk)