Kvantefeltteori. Seddel 4

[ Hjem ]

Paritet. Bispinorer. Spin ½ felt. Spin 1 felt.

Kvantefeltteori. Seddel « 4 »

Paritetstransformation: P[^t_x] = [^t_-x]: Transformation af rotations generatorer: PJP^-1 = J. Transformation af Lorentz boosts generatorer: PKP^-1 = -K. Transformation af Lorentz gruppe generatorer M og N: PMP^-1 = N, PMP^-1 = N. Dvs. under paritetstransformationen omdanne representationer (jk) og (kj) af Lorentz gruppe til hinanden (jk) ↔ (kj). Den irreducible representation af Lorentz gruppe med paritetstransformation kan så laves som en direkte sum (jk)⊕(kj). For spin ½ felt har vi representationen (½0), hvor matricer a = exp(i(^σ/₂)η) transformerer spinorer φ, og representationen (0½), hvor matricer b = (a⁺)^-1 transformerer spinorer χ. Dvs. at representationen af den fulde Lorentz gruppe er matricer A = [ ^a₀ ⁰_(a⁺)^-1 ], som transformere bispinorer (^φ_χ).
Kvadratiske former af bispinorer. Dirac matricer.: Dirac matricerne reducerer direkte produkter ψ^*⊗ψ til irreducible objekter: Skalar S = ψψ ≡ ψ⁺γ₀ψ, γ₀ = [⁰₁ ¹₀]; Pseudoskalar P = ψγ₅ψ, γ₅ = i[¹₀ ⁰_-1]; 4-Vektor V_μ= ψγ_μψ, γ=[⁰_σ ^-σ₀]; Pseudo-4-vektor A_μ= ψγ_μγ₅ψ, Antisymmetrisk tensor T_μν = ψ½(γ_μγ_ν-γ_νγ_μ)ψ. (Anti)kommutations relationen for gamma-matricer: {γ_μ , γ_ν} = 2η_μν.
Transformationen γ→SγS^-1, hvor S=ⁱ/_√(2)[¹₁ ¹_-1] omdanner gamma-matricer til den såkaldte Dirac form: γ₀ = [¹₀ ⁰_-1], γ=[⁰_-σ ^σ₀], γ₅ = i[⁰₁ ¹₀]
Spin ½ felt: Lagrangian: L = ⁱ/₂(ψγ_μ∂^μψ - ∂^μψγ_μψ) - mψψ. Dirac ligning: (iγ^μ∂_μ - m)ψ = 0. Eigensvingninger: ψ = ∑_pλ[ u_pλa_pλ e^-ipx + v_-pλb_pλ⁺ e^ipx ], hvor u_pλ = [ ¹_σp/(E+m) ]φ_pλ, v_pλ = [ ^-σp/(E+m)₁ ]χ_pλ. Normering: u_pλu_pλ'=^m/_{E_p}δ_λλ'. Hamiltonian: H = ∑_pE_p (a_pλ⁺ a_pλ - b_pλb_pλ⁺). Ladning: Q = ∑_p (a_pλ⁺ a_pλ + b_pλ b_pλ⁺). Antikommutator: {b_p,b_p'⁺} = δ _pp'.
Massivt spin 1 felt: L = -∂_μφ_ν^*∂^μφ^ν + m²φ_ν^*φ^ν: Fjerning af spin-0 del: ∂_μφ^μ = 0.
Masseløs spin 1 felt (elektromagnetisk felt): L = -(¹/_8π)∂_μA_ν∂^μA^ν eller L = -(¹/_16π)F_μνF^μν.: Gauge invariance: A_μ→A_μ+∂_μφ. Lorentz betingelse ∂_μA^μ=0. Stråling gauge: or A₀=0, ∇⋅A=0 eller e = {0,e}, k⋅e=0. Plane-bølger: A=∑_kλ√(^2π/_ω) (a_kλe_λe^-ikx + a_kλ⁺e_λ^*e^ikx)

Vis, at Lagrangian L = ½(ψγ_μ∂^μψ + ∂^μψγ_μψ) - mψψ ikke giver en god Euler-Lagrange ligning.
For Lagrangianen L = ⁱ/₂(ψγ_μ∂^μψ - ∂^μψγ_μψ) - mψψ beregn Euler-Lagrange ligningen, enegri-impuls tensoren og den bevarede strøm.
Bevis med direkte beregning, at strømmen ψγ_μψ bevares, hvis ψ er en løsning til Dirac ligningen.
Beregn energi-impuls og strøm for enkelte egensvingningstilstande med positiv og negativ frekvense.
Omskriv Dirac ligningen på formen i^∂ψ/_∂t =Hψ. Vis, at spin operatoren S=½[^σ₀ ⁰_σ] ikke kommuterer med H. Vis, at "helicitet" operatoren, S⋅p, kommuterer med H.
Udfør kanonisk kvantisering af massivt og masseløst spin-1 felt, dvs. find normerede egensvingninger, beregn Hamiltonian og ladning og find kommutationsrelationer.