---

[ Hjem ]

Lorentz transformationen.

Kvantefeltteori. Seddel  « 3 »

---

Ingen undervisning næste uge, jeg er desværre væk.

Lorentz transformationen som en gruppe

Fra relativitetsprincippet følger det, at de matricer, som transformerer koordinater imellem inertielle systemer, danner en gruppe. Gruppepostulater sammen med lysets endelige hastighed fører til, at transformationen skal have den følgende form (Lorentz transformation)

( t´z´) = 1/√(1-v²/c²)[1 -v  -v/c2 1] ( tz) .

Matricerne bevarer intervallet (ct')²-z'² = (ct)²-z².

Lie grupper og Lie algebra

En gruppe G med elementer g som er jævne funktioner af parametrene α, g = g(α₁,...,α_n) kaldes en Lie gruppe. Elementer af en Lie grupper som er tæt ved 1 kan skrives ved hjælp af generatorer, g(dα) = 1 + i I_k dα_k. Kommutatorerne af generatorerne danner en Lie algebra: I_j I_m - I_m I_j = i C^k_jm I_k, hvor C^k_jm kaldes strukturkonstanter.

Lie algebra for rotationsgruppen

For parametriseringen (n,θ), hvor n er rotationsaksen og θ er rotationsvinklen, skrives det infinitesimale gruppeelement R som R(n,dθ) = 1 + i Indθ, hvor generatorerne I har den samme kommutations-relation, som impuls-moment operatorerne, [I_i, I_j] = i ε_ijk I_k.

Lie algebra for Lorentz gruppen

En infinitesimal transformation med rotationen dθ ≡ ndθ og hastighed dv skrives vha. generatorerne J og K som Λ(dθ,dv)=1+iJdθ+iKdv med Lie algebra

[Ji, Jj] = i εijk Jk , [Ji, Kj] = i εijk Kk , [Ki, Kj] = -i εijk Jk.

Med parametrisering dη=dθ+idv er transformationen Λ(dη)=1+iMdη+iNdη^*, hvor M = ¹/₂ (J - iK) , N = ¹/₂ (J + iK) med Lie algebra

[Mi, Mj] = i εijk Mk , [Ni, Nj] = i εijk Nk , [Mi, Nj] = 0 .

Beregning af gruppe-elementer R(n,θ) vha. generatorer I

Da θ er en additiv parameter, kan vi skrive R(n,θ+dθ) = R(n,θ)(1 + iIndθ). Dvs. matricen R tilfredsstiller differentialligningen ^dR/_dθ = iR(In) med randbetingelsen R(n,θ=0)=1. Løsningen er givet vha. en Taylor-rækkeudvikling R(n,dθ) = exp(iInθ)  ≡  1 + iInθ + ¹/_2! (iInθ)² + ...

Irreducible representationer af rotationsgruppen

Irreducible representationer af Lorentz gruppen

1. En gruppe-parameter φ kaldes additiv, hvis der gælder følgene additions lov g(φ₁)g(φ₂) = g(φ₁+φ₂). Find den additive parameter af Lorentz gruppen (betragt kun bevægelse langs z-aksen). Find den tilsvarende generator.
2. Vis, at hvis U=exp(-iJ_kα_k) er en unitær operator (dvs. U⁺U=1) og α_k er reelle, så er operatorene J_k hermitiske (dvs J⁺=J). Vis at hvis det(U)=1, så er sporet af J_k lig nul.
3. Fra kommutations-relationerne [I_i,I_j] = iε_ijkI_k find 2x2 representationen af generatorerne I. Forudsat, at I₃ er diagonal og I₁ er reel.
4. For en representation af rotationsgruppen med givet j find I².
5. Find rotations-matrix R(n,θ) af den 2x2 representation af rotations-gruppe.
6. Vha. den additive parameter φ=½ln[(l+v)/(1-v)] af Lorentz gruppen find matricen af hæstigheds-boost for (½,0) og (0,½) representationer af Lorentz guppen.

---

Copyleft © 2000-2004 D.V.Fedorov (fedorov (at) phys (dot) au (dot) dk)