Gauge transformation: φ→e^iεφ≈φ+iεφ. Gauge invarians: δ L = ^∂L/_∂φδφ + ^∂L/_∂(∂μφ)∂μδφ + ^∂L/_∂φ*δφ* + ^∂L/_{∂(∂μφ*)}∂μδφ* = 0  =>  bevarelseslov ∂_μj^μ=0, hvor j^μ = ¹/_i (^∂L/_∂(∂μφ) φ - ^∂L/_{∂(∂μφ*)} φ*) er bevarende strøm. I 3-notationen j^μ = (ρ, j).

"Normal modes" eller egensvingninger er en fuldstændig basis af løsninger af Euler-Lagrange ligninger, som er ortogonale or normerede. Vi skal bruge plane bølger i en boks med V=1 og med periodiske randbetingelser, φ_k = N_k e^-ikx. Her kx ≡ k^μx_μ, k = (ω,k). Normering: ∫ ρ dV = 1.

Skalar felt: Lagrangian: L = ∂_μφ^*∂^μφ-m²φ^*φ. Euler-Lagrange ligning: ∂_μ∂^μφ+m²φ = 0 (Klein-Gordon). Eigensvingninger: ¹/_√(2ωk)e^-ikx og ¹/_√(2ωk)e^+ikx, hvor k = (ω_k,k), ω_k = ±√(m²+k²)

Egensvingningstilstandsrepresentation: φ(x) = ∑_k ¹/_√(2ωk) (a_k e^-ikx + b_k^* e^ikx) . Hamiltonian: H = ∑_k hω_k (a_k^*a_k + b_kb_k^*). Lednigen: Q = ∑_k (a_k^*a_k - b_kb_k^*).

Kanonisk quantizering: H = ∑_k ω_k (n_k + n'_k) hvor n og n' er antal af partikler og antipartikler: n må være en matrix med eigenvardier (0,1,2,...) => a_k og a_k⁺ må være matricer (generation-anihilation operatorer) med kommutator a_ka_k'⁺-a_k'⁺a_k = δ_kk', n = [0,1,2,...,∞] (bosoner), eller antikommutator a_ka_k'⁺+a_k'⁺a_k = δ_kk', n = [0,1] (fermioner). Kun kommutator passer til skalar feltet => bosoner => cf. spin-statistik sætning.

1. Bevis, at under Lorentz transformationen dV ρ er en skalar (her ρ=j⁰ er ledningens tæthed og dV=d³x). Hvad med dV B⁰ og dV T⁰_ν, hvor B^μ er en vilkårlig 4-vektor, og T^μ_ν er en vilkårlig 4-tensor?
2. Betragt den electromagnetiske Lagrangian L = - ¹/_8π ∂_μA^ν∂^μA_ν. Beregn energi tætheden T⁰₀ og sammenlign med det 3-notationens udtryk ¹/_4π(E²+H²) som vi kender fra Maxwells ligninger.
3. Betragt en skalar Lagrangian L = ∂_μφ^*∂^μφ - m²φ^*φ. Beregn energi-impulsens tæthed T⁰_ν og den bevarende strøm j^μ.
4. Beregn energi-impuls P^μ = ∫ T^0μ dV og strøm J^μ = ∫ j^μ dV for enkelte egensvingningstilstander med positiv frekvens, φ_k⁽⁺⁾ = N_k e^-ikx, or med negativ frekvens, φ_k^(-) = N_k e^ikx. Fortolk resultater.
5. Bevis, at forskellige egensvingninger giver uafhængige bidrag til energi-impuls of strøm.