Kvantefeltsteoriens emne er elementarpartikler -- de fundamentale particler da har ingen struktur (fx. fotoner, elektroner og kvarker). Alt stoff i universet er opbygget af de elementarpartikler. Kvantefeltsteori ligger i baggrund af standardmodellen som er pr. tidspunkt vores grundlægende teori af fundamentale partikler.

Elementarpartikler udviser en bølge-partikel dualitet, hvor de under visse omstændigheder har partikelegenskaber, mens de under andre udviser bølgeegenskaber. Dobbeltspalte (diffraktion) eksperimenter med elektroner (og fotoner) viser, at en elementarpartikel er en "bølge" som passere igennem begge (!) spalter med det samme, som om den er en klassisk felt. Andre eksperimenter (fx. sort legeme stråling, fotoelektriske effekt) viser at disse felter kan kun dannes som en helt-tal-sum af bestemte "kvanter" (fx. fotoner), der fortolkes som partikler, svarende til dette felt.

Felt. Diffraktion eksperimenter viser, at der til enhver elementarpartikel er tilknyttet et felt -- en fysisk substans, der fylder rummet, som kan beskrives ved et (eller flere) tal for ethvert punkt i tid-rummet. Fx. electromagnetisk felt -- (E(t,r), H(t,r)) eller A^μ(t,r). Feltet er slet ikke det samme, som kvantemekanikkens bølgefunktionen.

Specielle relativitetsteori (Einstein) er viden om et flad (dvs. uden tungdefelt) tid-rum (inertiellesystem) og relativistisk bevægelse af legemer og bølger i dette. Specielle relativitetsteori er baseret på i) relativitetsprincip (Galileo Galilei); og ii) endelig lysets hastighed (Ole Rømer). Transformationen af koordinater x^μ ≡ {t,r} fra et inertiellesystem til det andet, x'^μ = a^μ_ν x^ν hedder Lorentztransformationen. Denne bevarer skalarproduktet x^μx^νg_μν ≡ x^μx_μ hvor g_μν er en diagonal metriktensor med diagonalen (1,-1,-1,-1). Notationen ∂_μ er fokortelsen til ^∂/_∂x^μ.

Klassisk Lagrange feltteori er en grundlag for kvantefeltteori. Den er baseret på virkningsprincippet: teoretisk løsning φ er den, for hvilken virkningen S(φ) = ∫ d⁴x L(φ,∂_μφ), har en minimum, eller, i andre ord, for hvilken variationen forsvinder δS(φ)=0. Betingelsen δS(φ)=0 er ekvivalent til Euler-Lagrange lingningen: ∂_μ[^∂L/_∂(∂μφ)]=^∂L/_∂φ.

1. Beregn ∂_μx^ν
2. Udled Euler-Lagrange lingning ∂_μ[^∂L/_∂(∂μφ)]=^∂L/_∂φ fra variationspricippet δS = 0.
3. Udled Klein-Gordon ligning fra Lagrangian L = ∂_μφ∂^μφ - m²φ²
4. Udled Maxwell ligninger fra Lagrangian L = -¹/_8π ∂_μA_ν∂^μA^ν - j^νA_ν, hvor der gælder Lorentz betingelsen, ∂μ A^μ = 0, og j^ν = (ρ, j) er 4-strømmen. Sammenlign med ligninger i 3-notationen, dvs. med E=-gradV-^∂A/_∂t og H=rotA, hvor A^μ = (V, A).
5. Bevis, at under Lorentz betingelsen, ∂μ A^μ = 0, Lagrangianer L_A=-∂_μA_ν∂^μA^ν og L_F=-½F_μνF^μν er ekvivalente. Her F_μν=∂_μA_ν-∂_νA_μ.
6. Bevis, at d⁴x er Lorentz invariant