Hvor stor bliver farten af kugler der falder frit?

Hvor stor bliver farten af kugler der falder frit?

Spørgsmål:

Jeg har lige haft en diskussion med mine nye kollegaer vedrørende fald af emner i tyngdefeltet. Vi er alle enige om, at en tung og en let kugle falder lige hurtigt i vakuum. Men kan I give en forklaring (beregning) af om en tung og en let kugle med samme diameter opnår:

1.      Forskellig max hastighed

2.      Forskellig acceleration lige fra tid =næsten 0.

Mvh

Henrik Kloppenborg Bechtold

 

Svar:

Kære Henrik,

Hvis vi skal se på dit problem, er det en god ide at gå ud fra Newtons anden lov: ”Ændringen af hastigheden pr. sekund er givet ved den totale kraft F, der virker på emnet, divideret med emnets masse m”:

∂v/∂t  = (-mg + ½ρCAv2)/m                                (1)

Hvor –mg er tyngdekraften, der virker nedad, og det andet led på højre side er modstandskraften fra luften, der virker opad.  Dette sidste udtryk gælder ikke altid. For meget små hastigheder er modstandskraften snarere proportional med hastigheden, ikke med dens kvadrat – og ved meget store hastigheder gælder udtrykket heller ikke præcist. Men som et godt gæt ”under normale omstændigheder” er det udtryk, der står i ligningen ok (*). Det indeholder en faktor C, der er givet ved emnets facon, en faktor A, der er emnets areal set vinkelret på bevægelsesretningen, og faktoren ρ, der er luftens massefylde.

Den størst opnåede fart, vmax,  vil vi finde ved at sætte udtrykket (1) lig nul, for når den er nået, ændrer farten sig ikke mere:

Vmax = (mg/½ρCA)½                                                (2)

Vi ser, at den maksimale fart er proportional med kvadratroden af kuglens masse.

Accelerationen lige i starten af faldet er derimod den samme for alle emner. Dette skyldes, at normale gnidningskræfter i luft en negligible, når farten er meget lille. Derved bliver begyndelsesaccelerationen lig med tyngdeaccelerationen, g =  9.82 m/sec2.

På figuren ses emnets hastighed som funktion af den tid der er gået siden man lod emnet falde. Den rette linje er forløbet hvis der ikke var luftmodstand. De andre viser forløbet ved forskellige størrelser af produktet ρCA.

Med venlig hilsen

 

Helge Knudsen

Lektor emeritus

IFA

(*) se

da.wikipedia.org/wiki/Luftmodstand

en.wikipedia.org/wiki/Drag_(physics)